geogebra领悟解题系列3：阿基米德的折弦问题

阿基米德（公元前287年—公元前212年），我国历史上和他同时代的人自然就是大名鼎鼎的秦始皇。他是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”

阿基米德确立了静力学和流体静力学的基本原理。给出许多求几何图形重心，包括由一抛物线和其网平行弦线所围成图形的重心的方法。阿基米德证明物体在液体中所受浮力等于它所排开液体的重量，这一结果后被称为阿基米德原理。他还给出正抛物旋转体浮在液体中平衡稳定的判据。阿基米德发明的机械有引水用的水螺旋，能牵动满载大船的杠杆滑轮机械，能说明日食，月食现象的地球-月球-太阳运行模型。但他认为机械发明比纯数学低级，因而没写这方面的著作。阿基米德还采用不断分割法求椭球体、旋转抛物体等的体积，这种方法已具有积分计算的雏形。

他这么厉害，是怎么成长的？看看他的求学经历吧！

史料记载：公元前267年，阿基米德被父亲送到埃及的亚历山大城跟随欧几里得的学生埃拉托塞和卡农学习。亚历山大城位于尼罗河口，是当时世界的知识、文化贸易中心，学者云集，人才荟萃，被世人誉为“智慧之都”。举凡文学、数学、天文学、医学的研究都很发达。

阿基米德在亚历山大跟随过许多著名的数学家学习，包括有名的几何学大师—欧几里德，阿基米德在这里学习和生活了许多年，他兼收并蓄了东方和古希腊的优秀文化遗产，对其后的科学生涯中作出了重大的影响，奠定了阿基米德日后从事科学研究的基础。

说明了什么？

1，父亲很重视他的教育，把他送出去接受大师的教育是关键的一个环节——这不就是现在所说的拼爹吗？现在笔者作为一个父亲也要像他老爸学习。

2，阿基米德学习的就是欧几里得的几何原本，而他的老师就是欧几里得的学生埃拉托塞和卡农。在很早的时候，阿基米德就对一个很古老的问题非常感兴趣，那就是圆周率的计算。他能够很幸运的接触当时比较先进的数学物理知识，说明，学习要跟对名师，学习著作要学大师级别的知识。

3，阿基米德是一个很勤奋的著作家。流传于世的数学著作有10余种，多为希腊文手稿。他的著作集中探讨了求积问题，主要是曲边图形的面积和曲面立方体的体积，其体例深受欧几里德《几何原本》的影响，先是设立若干定义和假设，再依次证明。作为数学家，他写出了《论球和圆柱》、《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺线》、《论锥体和球体》、《沙的计算》数学著作。作为力学家，他著有《论图形的平衡》、《论浮体》、《论杠杆》、《原理》等力学著作。

按照现在的标准，他绝对是可以评上正教授级别的人物。

说明，一个人的学问，往往是从写作开始的，对一个问题进行写作发表性的学习，能够促进个人专注而持续的思考。那些懒得动笔、不想动笔或者觉得动笔很辛苦的人，或者是只会讲话而不能静下心来思考的人，往往处于浅层次的学习，怎么会有自己的学问呢。

阿基米德还有很多发明，例如保卫战争用的●投石器和起重机，●镜子聚光等等，是一个能够把学问转化为生产力的学者。

二、阿基米德的折弦定理

尽管这个定理现行的义务课程的课本也没有收录，但是笔者还是愿意用geogebra重新再学习和领悟一遍。

阿基米德折弦定理：一个圆中一条折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB>BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB，垂点为F。则AF=BF+BC

动画演示：

定理的证明：

这是初中学生经常能见到的证明两个线段的和等于另外一条线段的题目，可用的方法是常规的“截长补短”或构造垂线法。

（截长法）

如上图，在CD上截取DG=DB